Что значит на ООП PHP запись: $this->name->name2->name3->save();?

Это композиция, или ассоциация. Случай когда полем класса является другой клас, имеющий свои собственные поля и методы.

Например:

class foo
{
    public $nameFoo;
    public someMethod()
    {
        return "какое то значение";
    }
}
class bar
{
    public $nameBar;
    __construct()
    {
        $this->nameBar = new foo();
    }
}

Тогда обращение к полю nameFoo поля nameBar (являющегося объектом класса foo) будет выглядеть так:

$item = new bar();
//обращаемся к полю (nameFoo будет присвоена строка "присваиваемое значение")
$item->nameBar->nameFoo = "присваиваемое значение";
//обращаемся к методу (будет возвращена строка "какое то значение")
$item->nameBar->someMethod()

И таких вложенностей может быть много.

В видеороках такого не рассказывают. Потому что авторы видеоуроков сами ничего не знают, а лишь как обезьяны повторяют выученные у другого такого же балбеса пару команд.

Объяснение при этом очень простое: в РНР ты всегда можешь обратиться к результату, возвращаемому переменной. Например, запись вида

$name = $array[1]["name"];

означает, что сначала мы обратились к переменной $array[1], но она тоже представляет собой массив, и мы можем сразу обратиться к его элементу ["name"]

То же самое и с объектами. Если выражение возвращает объект, то мы можем пририсовать стрелочку и обратиться к его свойству или методу. И так до бесконечности. По-английски это называется method chaining, то есть нанизывание одного метода на другой. Например в PDO можно написать так:

$id = $pdo->query("INSERT INTO t VALUES(NULL)")->insertId();

Соответственно, написать $this->data->name можно только если data - это объект.