Доступ к экземпляру класса из AJAX

Смотрите, если в вы можете передать значение поля экземпляра Registry, то так и сделайте

$.ajax({
   url: "handler.php",
   type: "POST",
   data: {
            myData: "SOME_DATA", 
            objectRegistry: Value
   }
   success: function(){
       alert("OK");
   }
});

В общих чертах:

$.ajax({
    url: "handler.php",
    type: "POST",
    data: "myData=2",
    success: function(data){
       alert(data); // 20
    }
}); 

handler.php:

if($_POST['myData']) {
    $myData = $_POST['myData'];
    $instance = new Registry();
    echo $instance->someFunction($myData);
}
class Registry{
    public $field = "10";
    public function someFunction($args) {
        return $this->field * $args;
    }
}

UPD: Подключение файла класса в обработчике: spl_autoload_register

handler.php:

spl_autoload_register('loadeClass');
fuction loadClass($class) {
    require_once 'путь/до/класса/' . $class . 'php';
}
$registry = new Regisrty();