Изменить перемену при нажатие на кнопку и сохранить переменную в cookie

Попробуйте так:

<?php
if (isset($_GET['id'])) {
$map_id = $_GET['id'];
switch ($map_id) {
    case 'city1':
        $map = 1;
        break;
    case 'city2':
        $map = 2;
        break;
    default:
        $map = 3;
}
$_SESSION['city'] = mysql_fetch_array($map); // вот в этом месте вы в сессию сохраняете массив???
// Причем у mysql_fetch_array должен быть нормальный запрос, а не просто переменная.
// Наверное вам нужно переписать эту строку на что то вроде:
//$query = 'SELECT `имя столбца` FROM `имя таблицы` WHERE `имя столбца- условия`="'.$map.'"';
//$_SESSION['city'] = mysqli_query($link, $query);
echo $map; // зачем выводить переменную? отладка?
}

И в HTML, должно быть что то вроде:

<form action="Ваш php скрипт" method="post">
    <input type="hidden" name="id" value="1">
    <input type="submit" name="city" value="Москва">
</form>
<form action="Ваш php скрипт" method="post">
    <input type="hidden" name="id" value="2">
    <input type="submit" name="city" value="Сыктывкар">
</form>

Сделал по интродукции, но не работает.

     if (isset($_GET['id'])) {$map_id = $_GET['id'];
            switch ($map_id) {
                case 'city1':
                    $map = 1;
                    break;
                case 'city2':
                    $map = 2;
                    break;
                default:
                    $map = 3;
        }
        $query = 'SELECT `SESSION` FROM `SESSION_CITY` WHERE `SESSION`="'.$map.'"';
        $_SESSION['city'] = mysqli_query($link, $query);
}

html

<li>
<form action="" method="post">
<input type="hidden" name="id" value="1">
<input class="btn btn-link" type="submit" name="city" value="Киров">
</form>
</li>
<li>
<form action="" method="post">
<input type="hidden" name="id" value="2">
<input class="btn btn-link" type="submit" name="city" value="Сыктывкар">
</form> 
</li>