как отделить php от html?

А зачем так сложно делать? Сформируйте ваш выпадающий список посредством php в отдельном файле, а потом выводите его в нужном месте в html. Вот пример

файл select.php

$res = query("SELECT id, name FROM `names`");
if(!$res) exit("Ошибка запроса: ".mysqli_error());
    if(mysqli_num_rows($res)>0){ 
        $select = '<select name="idname"  class="form-control input-sm" id="nameselect">'; 
        while($row = mysqli_fetch_assoc($res)){ 
            $select.= "<option value=".$row['id'].">".$row['name']."</option>";
        } 
        $select.="</select>";
    }

файл main.php

<?php  
  include(__DIR__.'/../template/select.php');
  echo $select;
?>

Как то так:

mian.php

  <select class="selectpicker selectpicker_patient form-control" name="patient" title="Выберите пациента" data-live-search="true" data-size="7">
  <?php  
      include 'file-with-query.php';
  ?>
</select>

file-with-query.php

<?php  
  include($_SERVER['DOCUMENT_ROOT'].'/php/lib/connect.php');
$option = "";
  $query = "SELECT * FROM Patient ORDER BY Lastname ASC";
    if ($result = mysqli_query($link,$query)) {
      while ($row = mysqli_fetch_assoc($result)) {
          $option .= '<option value= '.$row['ID_Patient'].'>
               '.$row['Lastname'].' 
               '.$row['Firstname'].' 
               '.$row['Fathername'].'
               </option>';
      }
  }
  echo $option;
  ?>