Как отправить данные, которые пришли в гугл-форм?

Данные заполненной формы падают в Google SpreadSheet, прикреплённый к этой форме. К этой таблице можно прикрепить скрипт на JavaScript, который в т.ч. может запускаться по событию поступления новой записи.

В этом скрипте можно делать с данными что угодно: отправлять себе на почту, слать на сервер, распределять по другим листам в этом же «файле». Документация.

В открытом SpreadSheet'е, в меню "Tools" есть пункт "Script Editor...":

Появится редактор скриптов. Там создайте ф-ю, напр. onFormSubmit(e):

В этой функции можно получить новую появившуюся строку и что-то сделать с её содержимым:

if( e  &&  e.range) {
  values = e.range.getValues();
  theNewRow = values[0]; // новая строка как массив
}

Остаётся назначить эту функцию обработчиком события отправки формы в Current Project's Triggers (иконка часов в тулбаре):

Далее данные можете отправить письмом, или ajax-запросом запостить на ваш сервер.