как oтправить форму, которая находится на другом веб-сайте

Суть AJAX запроса в том, что он посылает на определенный url заданным методом (post или get) заданные параметры. Поэтому просто посмотрите какие параметры нужны и передавайте их на эту страницу тем же методом. Для передачи используйте curl.

<?php
$ch = curl_init();
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL,"http://www.example.com/tester.phtml");
curl_setopt($ch, CURLOPT_POST, 1);
curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS,
            http_build_query(array('field1' => 'value1', 'field2' => 'value2')));
// Получаем ответ ...
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
$server_output = curl_exec ($ch);
curl_close ($ch);
?>