Как отправить запрос методом POST на адрес ROOT URL?

Поскольку API находится на HTTPS, то помимо HTTP, вам еще нужно настроить SSL-опции, добавив в массив опций соотв-щий подмассив с ключом ssl. Если у вас на сервере есть файл сертификата, то нужно указать путь к нему опцией cafile либо capath. Если же его у вас нет, то вам нужно отключить опции verify_peer и verify_peer_name.

Кроме того, вы передаете неправильный URL API. В описании запроса у вас указан URL 'https://gate/ki-site-api/', а в file_get_contents по факту передается 'https://api.site.ru/gate/sie-api/'.

В итоге ваш код должен примерно таким:

$url = 'https://api.site.ru/gate/ki-site-api/';
$data = array('id' => 'make_pdf', 'username' => 'username','account_id' =>'1152289', 'period_id' => '201705');
$params = array(
    'http' => array(
        'header'  => 'Content-type: application/x-www-form-urlencoded',
        'method'  => 'POST',
        'content' => http_build_query($data)
    ),
    'ssl' => array(
        'verify_peer' => false,
        'verify_peer_name' => false,
    ),
);
$context = stream_context_create($params);
$result = file_get_contents($url, true, $context);