Как отрезать домен из строки

https://test.ru/test-url/other
http://test.ru/test-url
//test.ru/test-url
https://www.test.ru/test-url/other
http://www.test.ru/test-url
www.test.ru/test-url/other
test.ru/test-url
testru/test-url/other

В вашем случае достаточно нормализовать URI и потом отрезать все до первого слыша. Ну или просто взять и отрезать все от первого слыша, убрав предварительно разделитель протокола:

// Сама функция
function removeDomain($url) {
    $withoutProtocolDelimiter = str_replace('//', '', $url);
    return substr($withoutProtocolDelimiter, strpos($withoutProtocolDelimiter, '/') + 1);
}
// Проверочный массив
$array = [
    "https://test.ru/test-url",
    "http://test.ru/test-url",
    "//test.ru/test-url",
    "https://www.test.ru/test-url",
    "http://www.test.ru/test-url",
    "www.test.ru/test-url",
    "test.ru/test-url",
    "testru/test-url",
    "ftp://test.ru/test-url",
    "smb://test.ru/test-url",
    "/test-url",
];
// Проверка
foreach($array as $url) {
    echo assert(removeDomain($url) === 'test-url'), PHP_EOL;
}

Незачем использовать регулярки, там, где они не нужны. Этот код будет работать быстрее и обработает даже результаты типа ftp://test.ru/test-url или smb://test.ru/test-url. И код настолько простой, что в нем разобраться и его поддерживать может даже джуниор.

Используйте регулярки, вот например которая подойдет вам:

/^(https?:)?(\/\/)?[^\/]+(.+)$/m

Эта регулярка вернет "без" первого слэша

/^(https?:)?(\/\/)?[^\/]+\/(.+)$/m

Как использовать:

$InStr = "https://test.ru/test-url"."\r\n".
         "http://test.ru/test-url";
preg_match_all('/^(https?:)?(\/\/)?[^\/]+(.+)$/m',$InStr,$mathes);
print_r($matches);
foreach($matches as $val)
echo $val[3]

Чуть не забыл, пример : https://regex101.com/r/kqm48P/1/

Может просто url нормализовать под parse_url?

$array = [
    "https://test.ru/test-url",
    "http://test.ru/test-url",
    "//test.ru/test-url",
    "https://www.test.ru/test-url",
    "http://www.test.ru/test-url",
    "www.test.ru/test-url",
    "test.ru/test-url",
    "testru/test-url",
    "ftp://test.ru/test-url",
    "smb://test.ru/test-url",
    "test.ru/test/url/html.php",
];
foreach($array as $url) {
    echo '<li>'.parse_url( strpos($url,'//')!==false ? $url : '//'.$url, PHP_URL_PATH);
}

Чуть проще для восприятия

foreach($array as $url) {
    if( strpos($url,'//') === false ) $url='//'.$url;
    echo '<li>'.parse_url($url, PHP_URL_PATH);
}