Как перетащить файл laravel из одной папки в другую

Пользуйтесь документацией и готовыми методами. Для работами с файлами используйте "File Storage". В файле config/filesystems.php можно назначать свои хранилища. И тогда не нужно будет возиться с public_path() и другой ерундой.

Тогда перемещение файла - плёвое дело.

Storage::move('old/file.jpg', 'new/file.jpg');

Лучше погрузиться в изучение на пару часов, чем потом городить бог весть знает что.

Что касается изменения размера, то в документации всё есть.

upd. Вообще рекомендую посмотреть вот сюда. Вам не нужно делать самому какие-то обрезания под разные размеры, хранить кучу вариантов одной и той же фотографии и т.п. Вы сохраняете оригинал. Навастриваете свои шаблоны. И даёте ссылку на фотографию, как указано в инструкции. Всё автоматически будет обрезано, уменьшено и всё что захотите, а после сохранено в кеш.

if ( $user->username != Input::get('username')){
                $new_path =  public_path().'/img/logo/'. Input::get('username').'/'.$user->logo_path;
                $old_path =  public_path().'/img/logo/'. $user->username.'/'.$user->logo_path;
              $move = File::move($old_path, $new_path);
                $delete   =  File::delete($old_path);
            }