Как перезаписать значение ключа $data в Codeigniter 3.1.6

При подобном написании $data является локальной переменной. Чтобы она была доступна в других функциях вам следует либо передать ее туда как параметр (func1($data)), либо сделать членом класса $this->data.

Я, честно сказать, не знаком с CodeIgniter, но обычно public методы контроллера реализуют какой-то экшен, и редко вызываются друг из друга. С этой точки зрения, хотелось бы убедиться, что вы рассматриваете передачу данных в рамках выполнения одного и того же GET-запроса.

Всё потому что вы вносите изменения в массив находящийся в области видимости функции, Изменения не применяются к массиву вне функции. Есть несколько способов решить эту проблему.

Вариант 1 - Передать функции массив, внести в него изменения и ввернуть результат

    function func1($data){
        $data['current_list']['name_list'] = "Новый список";
        return $data;
    }
    $data = func1($data);

Вариант 2 - Передать функции ссылку на ваш массив

    function func2(&$data){
        $data['current_list']['name_list'] = "Новый список";
    }
    func2($data);

Вариант 3 - использовать ключевое слово global (не рекомендуется)

    function func3(){
        global $data;
        $data['current_list']['name_list'] = "Новый список";
    }
    func3();

Про область видимости можно прочитать в официальной документации PHP