Как получить значение атрибута data-original-title

Как вы проверяете что именно вы получили? PHP позволяет разработчикам реализовывать метод __toString, который вызывается автоматически при приведении объекта к строке (как например в случае echo $dates;). Если вы хотите во время отладки узнать, что находится в переменной, используйте var_dump.

Далее, из документации либы следует, что для доступа к атрибутам, надо дёргать одноимённые свойства найденных элементов. То есть:

$elements = $catalog->find('.catalog_podarkov'); // тут вы получаете коллекцию элементов, даже если элемент всего один
foreach ($elements as $element) {
    echo $element->{'data-original-title'}; // синтаксис с фигурными скобками, позволяет обратиться к свойству с нестандартным именем
}

Код целиком, для невнимательных:

<?php
require __DIR__ . '/vendor/autoload.php';
$html = '<span data-toggle="tooltip" title="" data-timestamp="15555555" class="catalog_podarkov" data-original-title="10.08.2017 в 10:02">В 2017 году</span>';
$dom = \Sunra\PhpSimple\HtmlDomParser::str_get_html($html);
$elements = $dom->find('.catalog_podarkov');
foreach ($elements as $element) {
    echo $element->{'data-original-title'}, "\n";
}
// выводит 10.08.2017 в 10:02

Всё выдаёт.