Как правильно построить отношение Laravel

Я бы рекомендовал делать связи по id пользователя. Если же вы конечно, точно уверенны что поле nik_name уникально и есть соответствующая проверка.

Например добавьте поле в таблицу Bans - 'appUsers_id' чтобы не явно связать данную таблицу с таблицей Bans.

Вот примеры для связей:

AppUsers
-id
-nik_name
Bans
-id
-appUsers_id
-nik_name
Notes
-id
 -appUsers_id
-nik_name

Отношение тут же будет еще проще:

public function ban()
{
    return $this->hasOne(Ban::class);
}
public function note(){
    return $this->hasOne(Note::class);
}

Для связи пробуйте вызвать запрос с хелпером with:

$query = AppUsers::with('ban', 'note')->get();