Как скрыть кнопку от всех, кроме пользователя у которого

Смотря как и где вы это реализовываете. Если к вам приходит пользователь у которого вы знаете его email и храните его например в переменной $email (PHP) то,

<?php if('igor@gmail.com' === $email) { ?>
<input type="submit" name="login" value="Profile" class="special"/>
<?php } ?>

Если нужно по другим данным сначала узнать его email в таблице users, то делаете это. Например:

SELECT email FROM users WHERE phone = '0990090909' [LIMIT 1]

Если данные о человека приходят из js, то получите их из $_GET/$_POST