Как сохранять данные, введённые пользователем в input-форму на сайте?

Как это сделать? Что нужно сделать для сохранения данных?

Очень много статей на эту тему. Попробуйте поискать.

Какой язык порекомендуете, чтобы написать код?

Выбирать только вам. Каждому своё. Стоит только начать.

можно ли это сделать на питоне или JS

Можно, и на python, и на js.

Как вообще это работает?

Алгоритм такой: frontend отправляет запрос на сервер с данными. Сервер обрабатывает их(сохраняет в бд, отправляет данные на e-mail и т.д.) и возвращает на frontend ответ, что все хорошо (или плохо). Frontend реагирует на ответ.

Можно на php это быстро сделать используя обычную html форму (В коде могут быть ошибки и не обработаны данные в плане безопасности)

<form action="/path_to_send.php" method="post">
  <p><input type="text" name="name" placeholder="Your name"></p>
  <p><input type="tel" name="phone" placeholder="Yout phone"></p>
  <p><input type="submit" value="Отправить"></p>
</form>

В аттрибуте action пишете путь к файлу обработчика. А в этом файле уже принимаете и обрабатываете ваши post запросы, к примеру простая отправка на почту (можно эти данные записать в БД, или в файл):

<?php
$name  = $_POST['name']; // from input name
$phone = $_POST['phone']; // from input name
// Need security data
$msg   = "Username: {$name}<br>";
$msg   = "Phone: {$phone}<br>";
mail('your_email@mail.ru', 'User submitted the form', $msg); // send to mail, need check

Как вариант ещё легкое и быстрое решение создать телеграмм бота и после отправки данных с форм увидите в Вашей телеграмм группе с ботом.

Ага, вам потребовалось что-то больше визиток, и теперь вы хотите написать бэкенд.

В принципе, языков для бэка много, сходу могу сказать про JS, PHP, Python, Ruby, Java,C#,Go. Последние три, скорее, не для сайтов, а для больших веб-приложений, но мало ли, некоторые и на хаскеле сайты пишут :)

Про руби я знаю мало, так что расскажу про первые три.

PHP - легче всего встраивается в готовую визитку, если вам ничего не надо кроме данной функции, то можете воспользоваться им. Если решите учить его, то, скорее всего, придётся учить Laravel.

Python - если бэк, то, скорее всего, это будет Django. Лично я на нём и пишу, хороший язык, отличная документация ко всему, что есть. Но порог вхождения несколько выше, чем в php.

JS - скорее всего, Express. Неплохой выбор, особенно, если вы знаете js.

Что вы выберете - зависит только от вас, гугл в помощь. То, что вам требуется (сохранить данные и отправить сообщение) можно сделать в любом из инструментов, опять же гугл в помощь, это одно из самого первого, что требуется сделать, информации по проблеме очень много. В общем, вам надо решить, на чём вы будете делать бэк, а затем делать (и задавать конкретные вопросы).