Не отрабатывает скрипт php на странице HTML

Мне немного интересно, зачем при имени поля name="currency" Вы проверяете наличие параметра с именем radio?

<input type="radio" name="currency" id="UAH" value="UAH" checked <?= $UAH; ?> />UAH
...
if (isset($_POST['radio']) && $_POST['radio'] == "UAH") ...

не могу проверить его работу, так как он не хочет срабатывать.

По этой причине и не срабатывает. Ознакомьтесь с руководством по работе с формами. А лучше - прочесть для начала все руководство с официального сайта, уверен - сразу станет проще отлаживаться.

P.S. Одна из самых полезных при отладке функций PHP - var_dump(). Она позволяет посмотреть, что же именно находится в переменной. Если, например, в код PHP включить

echo '<pre>$_POST = ';
var_dump($_POST);
echo '</pre>';

то можно увидеть переданные скрипту методом POST параметры. Очень пользительно при отладке.

Update

По обновленному вопросу. Файл lr3.php

<?php
$currencies = ['UAH', 'USD', 'RUB'];
// Если не установлено - установить начальное значение
$settedCurrency = $_COOKIE['currency'] ?? $currencies[0];
//если некорректное значение - установить начальное значение
$currentCurrency = in_array($settedCurrency, $currencies) ?
                   $settedCurrency : $currencies[0];
?>
<form method="POST" action="lr4.php">
   <div id="radio">
<?php
    foreach ($currencies as $currency) {
      echo "\t<input type=\"radio\" name=\"currency\" id=\"$currency\" value=\"$currency\"",
           $currency === $currentCurrency ? ' checked' : '', '/>', $currency, "\n";
    }
?>
   </div>
   <input type="submit">
</form>

Файл lr4.php

<pre>
<?php
echo '$_POST = ';
var_dump($_POST);
echo '$_COOKIES = ';
var_dump($_COOKIE);
$currencies = ['UAH', 'USD', 'RUB'];
// Если не установлено - установить начальное значение
$settedCurrency = $_POST['currency'] ?? $currencies[0];
//если некорректное значение - установить начальное значение
$currentCurrency = in_array($settedCurrency, $currencies) ?
                   $settedCurrency : $currencies[0];
if (($_COOKIE['currency'] ?? '') !== $currentCurrency) {
    setcookie('currency', $currentCurrency, time() + 600, '/');
}
echo "\n\nУстановлена валюта ", $currentCurrency;
?>
</pre>
<a href="lr3.php">Вернуться на lr3.php</a>