Ограничения вывода имени из БД

Для того чтобы кнопка сработала один раз можно сделать так:

/* Флаг, отвечающий за вызов функции */ 
  
let RUN = true; 
   
$('button[name="my"]').on('click', function(){ 
  if ( RUN ) { 
    $( this ).text('Нажимать бесполезно'); 
    $( this ).after('<div class="alert alert-primary mr-3 ml-3" role="alert">Иванов Иван Иванович</div>'); 
    RUN = false; 
  } 
});

<link rel="stylesheet" href="https://stackpath.bootstrapcdn.com/bootstrap/4.3.1/css/bootstrap.min.css" integrity="sha384-ggOyR0iXCbMQv3Xipma34MD+dH/1fQ784/j6cY/iJTQUOhcWr7x9JvoRxT2MZw1T" crossorigin="anonymous"> 
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script> 
<button type="button" class="btn btn-success m-3" name="my">Можно выводить</button>

Можно сделать так:

$('button[name="my"]').on('click', function(){ 
   $(this).prop('disabled', true); 
});

<link rel="stylesheet" href="https://stackpath.bootstrapcdn.com/bootstrap/4.3.1/css/bootstrap.min.css" integrity="sha384-ggOyR0iXCbMQv3Xipma34MD+dH/1fQ784/j6cY/iJTQUOhcWr7x9JvoRxT2MZw1T" crossorigin="anonymous"> 
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script> 
<button type="button" class="btn btn-success m-3" name="my">Можно выводить</button>

А можно быть сатанистом мазохистам и через ajax в бд изменять флаг на вывод данных из бд.

Все логично, сколько раз вы принимаете $_POST['singline'] - столько записей в БД и добавится. А ваш селект читает вообще все записи из БД и в цикле их выводит.

В зависимости от того, что вам действительно нужно, есть несколько вариантов.

Для начала я бы изменил структуру таблицы и сделал поле id автоинкрементным и первичным ключом.

1) Вам нужно хранить в БД все факты нажатия кнопки, а выводить последнюю для всех пользователей.

SELECT onusername, onsurname, MAX(date) FROM online GROUP BY onusername, onsurname;

2) Вам нужно хранить только факт последнего нажатия кнопки

Самый дурацкий вариант - сделать первичный ключ на поля (onusername, onsurname). Правильный вариант с id - но это теории на целую статью будет - потом сами разберетесь.

Обновляем значение (Запомните - подставлять переменные напрямую в запрос - это очень плохо! Почитайте про подготовленные запросы):

INSERT INTO online (onusername, onsurname, date) 
VALUES ('$personal', '$sur', UNIX_TIMESTAMP())
ON DUPLICATE KEY UPDATE date=UNIX_TIMESTAMP();

Читаем так-же, как у вас в коде.