Передача переменной в контроллер через routes.php

Переменные в контроллер через роуты передаются с помощью параметров (см. документацию), которые указываются в фигурных скобках

Route::get('/addCat/{cat_name}', 'addOperationController@addCategory');

Сам же метод addCategory должен иметь вид:

public function addCategory($cat_name)
{
    // при наборе адреса site.ru/addCat/test переменная $cat_name 
    // примет значение test
}

Если Вы передаете значение через форму POST методом по роуту

Route::get('/addCat', 'addOperationController@addCategory');

то Ваш контроллер должен выглядеть так:

public function addCategory(Request $request)
{
    // Здесь поле с именем cat_name можно будет получить так:
    // $request->cat_name
}

Вот ссылка на документацию по теме.