Php, ошибка при использовании preg_match

Обратите внимание на сигнатуру preg_match:

int preg_match ( string $pattern , string $subject [, array &$matches [, int $flags = 0 [, int $offset = 0 ]]] )

$subject — это string, а $_POST['reg_pass'] у вас передаётся как массив для сохранения найденного соответствия.

Нужно поправить регулярное выражение, добавить ё и модификаторы iu для работы со строками Юникода (u) и регистронезависимого поиска (i), а затем использовать конструкцию типа if (preg_match(...) && preg_match(...)) {...}:

$regex = "/^[a-zа-яё0-9_]{3,15}$/iu";
if (preg_match($regex, $_POST['reg_name']) && preg_match($regex, $_POST['reg_pass']))
{
    // Добавить в базу
}