Почему тег HTML не работает в php коде Laravel

Правильный ответ.

Cделать отдельный кейс для красивых названий товаров

Session::flash('add-product', $product->name);

в шаблоне

@if(Session::has('success'))
    <p class="alert alert-success text-center">{{ Session::get('success') }}</p>
@endif
@if(Session::has('add-product'))
   <p class="alert alert-success text-center">
   Вы увеличили количество товара <strong> {{ Session::get('add-product') }} </strong> на 1
   </p>
@endif

То, что HTML по умолчанию экранируется, имеет серьёзную причину.
То, что HTML пишется не в контроллерах, а в шаблонах, имеет серьёзную причину.

И не следует отмахиваться от этих правил, как от досадных пустяков.