Поиск по значению в массиве

Array
(
    [0] => Array
        (
            [ID] => 40
            [NAME] => Пример 1
        )
    [1] => Array
        (
            [ID] => 39
            [NAME] => Пример 2
        )
    [2] => Array
        (
            [ID] => 38
            [NAME] => Пример 3
        )
)

Если операция поиска одноразовая, то можно использовать варианты поиска, приведенные в других ответах.
Если же вам нужно обращаться ко множеству элементам по ID, то лучше перевести массив к виду ID => name, чего можно добиться простым использованием

$data = array_column($array, 'name', 'id');
print $data[39];

в случае, если у вас там будет не только name и и другие данные, можно дополнительно использовать array_combine:

$data = array_combine(array_column($array, 'id'), $array);

тогда фактически ключи будут заменены на значения ID.

$array исходный массив, $searchId ID который ищите

foreach ($array as $item) {
    if ($item['ID'] == $searchId) {
        echo $item['NAME'];
        break;
    }
}

К примеру можно сделать вот так:

$array = array(
    array(
        'id' => 40,
        'name' => 'Пример 1'
    ),
    array(
        'id' => 39,
        'name' => 'Пример 2'
    ),
    array(
        'id' => 38,
        'name' => 'Пример 3'
    )
);
echo $array[array_search(39, array_column($array, 'id'))]['name']; //Пример 2