Прибавлять ID при отправке с формы

<?php
//Если переменная SCRIPT передана
if (isset($_POST["Name"])) {
    //Вставляем данные, подставляя их в запрос
    $sql = mysql_query("INSERT INTO `support` (`id`, `Name`, `Email`, `vk`, `Text`) 
                        VALUES ('".$_POST['id']."','".$_POST['Name']."','".$_POST['Email']."','".$_POST['vk']."','".$_POST['Text']."')");
    //Если вставка прошла успешно
    if ($sql) {
        echo "<p>Данные успешно добавлены в таблицу.</p>";
    } else {
        echo "<p>Произошла ошибка.</p>";
    }
}
?>

Убрать поле id из запроса, и если в БД auto_increment отмечен в поле id, то все само будет добавляться.

$sql = mysql_query("INSERT INTO `support` (`Name`, `Email`, `vk`, `Text`) 
                        VALUES ('".$_POST['Name']."','".$_POST['Email']."','".$_POST['vk']."','".$_POST['Text']."')");

В бд сделать поле id автоинкриментом, и потом при добавлении записи в таблицу (при запросе) передавать запись id как null.

В дополнении к ответу @Kosta-B Получить ID только-что вставленной записи mysql_insert_id
Но уже давно надо переходить на >php7 т.к. выше PHP5.5 MySQL depercated и, соответственно, метод будет отличаться mysqli_insert_id

Попробуйте таким образом.

$id = (int) $_POST['id'];
$sql = mysql_query("INSERT INTO `support` (`id`, `Name`, `Email`, `vk`, `Text`) 
                    VALUES ('".$id"','".$_POST['Name']."','".$_POST['Email']."','".$_POST['vk']."','".$_POST['Text']."')");