Регулярное выражение по поиску ссылок

Почему слово Anet программа воспринимает как часть домена .net?

Потому что символ точки в регулярных выражениях соответствует почти любому символу. Исключение составляют символы перевода на новую строку, но если указан модификатор s - точка будет соответствовать любым символам. Как было сказано в комментарии, для поиска символа точки достаточно её экранировать:

$string = "Anet";
if (! preg_match('~https?|www|\.(?:ru|com|net|info|org)~i', $string)) {
    echo "Нет ссылки";
} else {
    echo "Есть ссылка";
}