Удалить объект из массива объектов по значению

В foreach по умолчанию передаётся копия массива. Что бы получить доступ к исходному массиву, нужно добавить амперсанд в обеих циклах:

foreach ($usedBasket as &$basket)

и

foreach ($basket as $key => &$value)

Если вы изменяете только $basket, то во втором цикле амперсанд можно не добавлять.

Для модификации массива было бы удобнее вместо foreach() использовать for() хотя бы потому, что бы не удалять после цикла оставшиеся ссылки. Например:

$posted_value = 13;
$basketJson = '[
  {
    "item": 13
  },
  {
    "item": 12
  }
]';
$usedBasket = json_decode($basketJson, true);
for ($i = 0, $all = count($usedBasket); $i < $all; $i++) {
    if ($usedBasket[$i]['item'] === $posted_value) {
        unset($usedBasket[$i]);
    }
}
$usedBasket = array_values($usedBasket);
var_dump($usedBasket);

Результат:

array(1) {
  [0]=> array(1) {
    ["item"]=> int(12)
  }
}