Вырезать часть текста из строки

preg_replace('/^.*?<\/p>.*?\K<p>.*?<\/p>/is','',$str);

Расшифровка выражения:

^           # Начало строки
.*?         # любые символы
<\/p>       # конец первого тега P
.*?         # любые символы
\K          # точка начала совпадения (замены)
<p>.*?<\/p> # вырезаемые символы в теге
/is         # флаги выражения, без учета регистра, однострочное (. включает перевод каретки)

Вариант с DOMDocument:

$dom = new DOMDocument;
$dom->loadHTML($yourStr);
$p = $dom->getElementsByTagName('p')->item(1);
var_dump($p->textContent);

Можно попробовать с помощью регулярных выражений.

$output=preg_replace("/<\/p>[^<]*<p>[^>]*<\/p>/", "</p>", $input_lines);

Онлайн тест: http://www.phpliveregex.com/p/jkS