Время жизни для конкретной сессии

По сути никак не задать. Для начало необходимо понимать, что такое сессия и для чего она предназначена.

Каждому посетителю сайта присваивается уникальный идентификатор, называемый идентификатором сессии (session id). Он хранится либо в cookie на стороне пользователя, либо передается через URL.

То есть сессия должна создаваться одна для сеанса.

Само время жизни общей сессии можно установить в php.ini session.gc_maxlifetime

В Вашем же случае, правильным вариантом, скорее будет устанавливать данные в cookie.

И работать с данными из cookie через $_COOKIE

Конкретно для $_SESSION вы не сможете указать время жизни. Лучше сделать так, при заполнении $_SESSION['log'] заполнять $_SESSION['log_start'] текущем временем. А потом проверять, не прошло ли слишком много времени.

$_SESSION['log_start'] = time();
...
if (time() - $_SESSION['log_start'] > $log_expr_time) {
    сессия протухла