WooCommerce изменить данные пользователя

Посмотрел исходники. Эта функция добавляет данные в объект в памяти. Для сохранения в базу попробуйте так:

$user_id = 1;
$customer = new WC_Customer( $user_id );
$customer->set_billing_address( 'address_1' );
$customer->save();