Заменить текст в теге по id PHP

Буферизация + регулярка, и будет на выходе требуемый результат

<?php
session_id() ?: session_start();
ob_start();
?>
<h3 id="auth">Войти</h3>
<?php
// Допустим, id юзера вы сохранили в сессию
$_SESSION['id'] = 1;
$content = '';
if (!empty($_SESSION['id'])) {
    $content = ob_get_contents();
    ob_end_clean();
    $patt = '~(<h3 id="auth">)Войти(</h3>)~';
    $content = preg_replace($patt, '$1Вы вошли$2' , $content);
}
echo $content;

При авторизации дать пользователю в сессию значение с его айдишником, или любое другое, и в зависимости от этого подключать нужный файл с кнопкой.

$_SESSION['user_id'] = '12345';

И проверять

if( isset($_SESSION['user_id'] )
    include 'login.php';
else
    include 'not_login.php';