Запись которая попадает в диапазон дат mysql php

Вам нужно воспользоваться оператором BETWEEN.

SELECT *
FROM `objects`
WHERE (date_field BETWEEN '2010-01-30 14:15:55' AND '2010-09-29 10:15:55')

Пример взял отсюда.

UPD

Исходя из Ваших правок в вопросе, должно быть приблизительно как-то так:

"SELECT * FROM projects WHERE ($date BETWEEN '".$row_calendar_process['date_create']." 00:00:00' AND '".$row_calendar_process['run_up']." 23:59:59')"