Запутался в многомерных массивах, хэлп))

Если я понял правильно, то получайте значения по ключу.

Также можно изменить логику массива, убрать лишний элемент email_author и email_book. Вместо них будет выступать ключ.

// Я уменьшил количество данных для более упрощенного чтения кода.
$results = [
   'AUTHORS' => [
       'pasha12316@ya.ru' => [
           'fio' => 'Pavel Kharchenko',
           'year_of_birth' => '1990'
       ]
   ],
   'BOOKS' => [
       'pasha12316@ya.ru' => [
           'title' => 'Progressive',
       ]
    ]
];

Для их вывода будем использовать ключи.

// Для начала выведем авторов
foreach ($results['AUTHORS'] as $email => $info) {
    echo "<p><span>$email</span> " . $info['fio'] . $info['year_of_birth'] . "</p>";
}
// Затем книги
foreach ($results['BOOKS'] as $email => $info) { 
    echo "<p><span>$email</span> " . $info['title'] . "</p>";
}

Можно также структуру данных таким образом, сделать вместо поиска по ключу, простой перебор массива (списка) со вложенным списком книг.

$results = [
    [
        'name' => 'Pavel Kharchenko',
        'email' => 'pasha12316@ya.ru',
        'born' => 1990,
        'books' => [
            [
                'title' => 'Progressive',
                'written' => 2012 // Добавил ещё один элемент для примера.
            ]
        ]
    ]
];

А затем перебрать его таким образом

foreach ($results as $entry) {
    echo "<p>Author: " . $entry['name'] . "</p>";
    echo "<p>Email: " . $entry['email'] . "</p>";
    echo "<p>Was born in: " . $entry['born'] . "</p>";
    echo "<p>Books:</p>";
    echo "<ul>";
    foreach ($entry['books'] as $book) {
        echo "<li><p>" . $book['title'] . " written in " . $book['written'] . "</p></li>";
    }
    echo "</ul>";
}

Обновлено по комментарию

foreach ($results as $author) {
    foreach ($author["books"] as $book) {
        echo "<p>Книга " . $book['title'] . ", её написал " . $author['name'] . " " . $author['born'] . " (" . $author['email'] . ")</p>";
    }
}

foreach($result3['BOOKS'] as $email => $book) {
    echo $book['title'];
    echo "<br/>";
    $result3['AUTHORS'][$email]['fio'];
    echo "<br/>";
    $result3['AUTHORS'][$email]['year_of_birth'];
}