Алгоритм перебора

Учитывая, что вес гирь это степени двойки, его можно рассматривать как набор бит в числе. Тогда нам будет проще работать в ними, как с обычными двоичными числами. Наша задача найти такой набор бит, который надо добавить к весу спортсмена и набор бит, которые положить на другую чашу. При этом нам надо что бы не было одинаковых бит среди добавленных на левую чашу и положенных на правую. Из всех вариантов нам надо выбрать тот, в котором будет минимальное количество бит в сумме из добавленных на левую и положенных на правую.

Просто пробуем перебрать все возможные наборы гирь, добавляемых на левую чашу. Если взять крайние случаи и вес спортсмена выходящий за рамки задачи нам надо будет проверить максимум 2047 вариантов.

int main() {
  int c,s,bits;
  int n=508;  // Вес спортсмена, находящегося на левой чаше весов
  int min=0xFFFF, min_c=0;
  for(c=0;c<=2047;c++) {
    s=n+c; // Добавляем набор гирь на левую чашу, получаем уравновешивающий
           // вес, необходимый на правой чаши
    if((s & c) != 0) // Если в добавленном наборе гирь на леву чашу
       continue;     // и необходимом наборе на правой чаше есть одинаковые
                     // гири - то не рассматриваем этот вариант
    s=s | c;         // Получаем сумму гирь на левой и правой чаше
    bits=0;
    for (; s; bits++) s &= (s - 1);  // И считаем их количество
    if(min > bits) {  // Если нашли количество меньшее, чем ранее, запоминаем
      min=bits;
      min_c=c;
    }
  }
  printf("min=%d for left %d right %d\n",min,min_c,min_c+n);
}

Мое решение имеет идею перебора , давайте представим , что каждому предмету мы можем сопоставить число 1 , если мы его берем на левые весы(то есть они прибавляют вес спортсмену) , число 0 , если они не используются и -1 если они противовес спортсмену.Тогда мы сможем перебрать все значение за 3^(k) , где k - количество предметов для задачи это 531441 операций , что нас устраивает.Код задачи приведен ниже.Засчитаное решение на e-olymp

#include <iostream>
using namespace std;
int x , p = 8;
int arr[12] = {0 , 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024} , k = 0;//индексация массива с елиницы
void du(int c , int r[12])
{
    if(c == 11)//когда мы набрали нужное количество гирь
    {  
        k++;
        int sum = 0 , l = 0;
        for(int i = 1;i < 12;i++)//проходим по предметам
        {
            sum += arr[i] * r[i];//в зависимости от места прибавляем , отнимаем или ничего не делаем
            if(r[i])
                l++;    
        }
        if(sum == x)
        {
            p = min(l , p);//нам нужно минимальное количество
        }
        return ;
    }
    //вызов всех возможных вариантов
    r[c+1] = 0;
    du(c+1 , r);
    r[c+1] = 1;
    du(c+1 , r);
    r[c+1] = -1;
    du(c+1  , r);
}
int main()
{
    cin >> x;
    int arr[12] = {0};//текущий набор(0 , 1 ,-1)согласно описанию више
    du(0 , arr);
    cout << p;//вывод ответа
}