Функция не возвращает string

Сделайте проще:

std::string phone_number(const std::string& x)
{   
    std::string A; // не массив строк, а одна строка нужна
    const size_t size = x.length(); 
    for (size_t i = 0; i < size; ++i)
        if (isxdigit(x[i])) //записываем только числа
            A.push_back(x[i]);
    A[0] = '8';
    return A;
}

или так:

std::string phone_number(const std::string& x)
{   
    std::string A("8"); 
    const size_t size = x.length(); 
    size_t i = 0;
    while (!isdigit(x[i]) && i < size)
         {  ++i; }
    for (;i < size; ++i) {
        if (isdigit(x[i]))
            A += x[i];  
    }
    return A;
}

или использовав стандартные альгоритмы. Например:

std::string phone_number(const std::string& x)
{   
    std::string A(x); 
    A.erase(std::stable_partition(A.begin(), A.end(), isdigit), A.end());
    A[0] = '8';
    return A;
}

Напишите

char A[11];  // в номере 11 цифр

и не забудьте записать '\0' в конец строки.