Как получить доступ к элементам динамического массива по ссылке?

Вы указали аргументом функции ссылку на Animal, у которого потом пытаетесь вызвать operator[], скорее всего компилятор на это вам и указал в ошибке... Если вы хотите передавать массив, передавайте в функцию, например, указатель+размер массива.

void Foo(Animal* arr, size_t size)
{
    //тут надо бы проверить, что size > 3
    cout << arr[3].x;
}

Хотя, разумеется, вы можете выкрутиться как-то так:

void Foo(Animal& arr)
{
    cout << (&arr)[3].x;
}

Но это уже мягко говоря извращение...

Animal *arr = new Animal[counter];
Foo(arr);
void Foo (Animal *arr) {
 cout << arr[3].x;
}