Как работает часть программы?

• cin.peek() _ возвращает целочисленное представление следующего символа в буфере потока, не прочитав его

• (cin >> a) при вводе значения a, если все нормально, то выражение вернет true, соответственно !(cin >> a) вернет false (неудачу)

• cin.clear() очистит все биты и установит бит по умолчанию (std::ios_base::goodbit), таким образом приведя поток в рабочее состояние.

• cin.get() считывает один символ, но нигде не хранит

Таким образом имеем следующее:

while (!(cin >> number) || (cin.peek() != '\n'))

Пока попытка вводить с консоли значение number завершилась неудачей, или символ, следующий за последным прочитанным, не является '\n'(строка не закончилась). (Чушь какая то написана) {

    cin.clear();

очищаем cin, приводим его в рабочее состояние (установится состояние good)

    while (cin.get() != '\n');

Читаем всю оставшуюся строку посимвольно(т.е. пока не встретим '\n')

    cout << "Ошибка ввода. Введите заново:`введите сюда код` " << endl;
}

выводим на консоль сообщение об ошибке.

Вообшем написано плохо(ради чего вся остальная строка пропускается, непонятно), такой код нужно писать как: вводим число, если это не число или cin сломался по другой причине, поток приводим в рабочее состояние и игнорируем всю строку.

cin - это входной поток.
cout - это выходной поток.
cerr - это поток вывода сообщений об ошибках.

Для работы с этими операторами есть специальные поразрядные сдвиги:
>> - прочитать из входного потока.
<< - записать в выходной поток

От суда вывод, что cin - это ввод, из данного потока - читается последовательность символов до пробела и после помещается в идентификатор (переменную).

char c;
cin >> c;

Допустим, если взять строку состоящую из 2 и более слов, разделенными: пробелом, переводом строки, табуляцией, к примеру Тут Текст:

char s[10];
cin >> s;
cout << s << endl;

Вернет Тут.
Чтобы нам получить всю строку, нужно использовать манипулятор getline.

char s[10];
cin.getline(s, 10);
cout << s << endl;

Вернет Тут Текст.

Так-же поддерживается мульти-ввод:

cin >> var1 >> var2 >>...>> varN;