Копирование указателей из одного std::map в другой

Если в mapе хранятся именно объекты Animation, а не его наследники, тогда можно сделать так:

std::map<String, Animation*> listOfAnimations = OtherlistOfAnimations;
for (auto &it : listOfAnimations)
    it.second = new Animation(*it.second);

Если задача не учебная, то для хранения в структурах указателей удобнее использовать бустовскую билиотеку. Там реализовано копирование map с копированием объектов. Ну и, кстати, уничтожение объектов при уничтожении контейнера автоматическое.