Почему при вызове `max(int, long long)` аргумент типа int не расширяется до long long?

Никакой "функции max(long long, long long)" нет.

Речь идет о стандартном std::max. И надо иметь в виду, что std::max - это шаблон. Тип аргументов std::max заранее не задан - он является шаблонным параметром. Шаблон этот лишь определен так, что тип аргументов функции должен быть одинаковым.

Из вашего вызова max(x, y) компилятор не может угадать, какой именно тип аргумента std::max вы хотели получить. Может быть вы хотели использовать long long в качестве общего типа. А может быть вы хотели использовать int в качестве общего типа.

Выполнить дедукцию шаблонного аргумента в такой ситуации компилятор не может и компиляция заканчивается с ошибкой. Т.е. проблема заключается именно в невозможности дедукции шаблонного аргумента для std::max.

В данном случае вы можете, например, "подавить" дедукцию шаблонного аргумента, т.е. указать тип шаблонного аргумента явно вручную

max<long long>(x, y)

и тогда действительно аргумент типа int будет неявно преобразован к типу long long, как вы и хотели.