Проблемы с пониманием цикла foreach

Начнем с того, что

 for each (int var in arr) 

- это кусок на C# или на C++/CLI. Это другой язык, не стандартный C++.

Далее,

for (auto element : arr)
    cout << arr [element] << " ";

-это не "другая" реализация, а единственная существующая в актуальных на данный момент стандартах языка (C++11,14,17) конструкция цикла по контейнеру, но применили вы ее неверно - у вас element - это уже элемент из массива, а не индекс элемента в массиве, поэтому писать надо так:

for (auto element : arr)
    cout << element << " ";

А теперь, чтобы написать совсем хорошо, следует поправить код вот так:

for (const auto& element : arr)
{
    cout << element << " ";
}

• фигурные скобки следует писать вокруг всех блоков кода, даже если они состоят из одного стейтмента. Это облегчает отладку (всегда можно поставить курсор на нужную строку), облегчает чтение кода (за счет отступов), и главное, позволяет при модификации не переломать логику, добавив строку в блок.

• const заставит компилятор ругаться на вас, если вы заходите изменять элемент в массиве - опечатаетесь, например. Правильный синтаксис для изменения элементов:

   for (auto& element : arr)
   {
          cin >> element;
   }
  

  Классическая ошибка при этом - забыть поставить ссылку

   for (auto element : arr)
   {
          cin >> element;
   }
  

  Если написать вот так, массив изменяться не будет.