Шаблонные структуры с наследованием и переопределенными методами

Класс(структура), это некая инструкция компилятору о том, какими должны быть экземпляры этого типа и что они могуть сделать. Если в классе вы объявили о новом типе сущности( Node), то вы должны определять что она из себя представляет, но не в другой сущности(в данном случаи в наследнике). Класс(структура) не является пространством имен, чтобы взять и в любом другом классе(структуре) определить тип, принадлежащий другому типу. Нужно написать хоть какое то определение Node в абстрактном классе(можно с пустым телом), а в производном классе написать(если хотите) производную от него структуру. Также нельзя оставлять неинициализированным члены (в данном случаи p_size). Например, можно так:

template<typename T>
struct List {
protected:
    struct Node {
        T data{};
    };
    virtual Node* getNode(const int index) = 0;
private:   
    int p_size{};
public:
    int size() { return p_size; }
    virtual void push_back(const T data) = 0;
    T& operator[](const int index) {
        return getNode(index)->data;
        p_size = index;
    }
    virtual ~List() {};
};
template<typename T>
struct SinglyList : public List<T> {
public:
    struct Node : List<T>::Node {
        Node() {            
            cout << "constructor" << endl;
        }
    };
    //это уже SinglyList::Node
    Node* getNode(const int index) override {
        return new Node[index];        
    }
    void push_back(const T data) {
        cout << "push_back method" << endl;
    }
};

Но, это не то, что вам нужно, и то, что вы написали, это какая то смесь, из чего строить что то осмысленное, пока невозможно. Для получения желаемого результата, методы класса должны иметь определенную смысль, члены класса должны инициализироваться определенным значением. Так что доработайте классы. Также подумайте о смысле этой иерархии, потому что, для окончательной цели(передать один контейнер, а на выходе иметь другой), вам не нужно прибегнуть к наследованию, тем самым увеличивая и время выполнения и размеры обьектов. Пусть ваша функция сама будет шаблоном, который принимает один контейнер, копирует данные в другой контейнер, и вернет его, где параметры шаблона есть типы этих контейнеров.

Варианты решения

1. Обычный полиморфизм

     template<typename T>
     struct SingleDirectionNode
     {
         T Data;
         SingleDirectionNode * Next;
         bool moveForward();
     };
     template<typename T>
     struct DoubleDirectionNode: SingleDirectionNode<T>
     {
        DoubleDirectionNode * Previouse;
        bool modeBackward();
     };

2. Статический полиморфизм

     template<typename T>
     struct SingleDirectionNode
     {
         T Data;
         SingleDirectionNode * Next;
     };
     template<typename T>
     struct DoubleDirectionNode
     {
        T Data;
        SingleDirectionNode * Next;
        DoubleDirectionNode * Previouse;
     }
     template<typename N>
     bool Forward(N *& node)
     {
         node = node ? node->Next : nullptr;
         return nullptr != node;
     }
     template<typename N>
     bool Backward(N *& node)
     {
         node = node ? node->Previouse : nullptr;
         return nullptr != node;
     }