Тип HANDLE. Как значение дескриптора записать в строку?

//1 вариант
char str[64]; //про запас
sprintf(str, "%p", file);
//2 вариант
std::stringstream ss;
ss << static_cast<void*>(file);  
std::string value = ss.str(); 

Можно совершить поиск в заголовочных файлах и обнаружить там

typedef void* HANDLE;

Т.е. HANDLE - не что иное как void*.

Можно воспользоваться средствами C++ и вывести этот тип:

cout << typeid(HANDLE).name() << endl;

Вы увидите

void *

Т.е. ваш HANDLE - это просто указатель, и с ним можно делать все, что с обычным указателем. Только отдавая себе отчет, что и зачем :)

В строке его можно хранить, переведя в соответствующее строковое представление. Типа

char s[20];
HANDLE h;
sprintf(s,"%p",h);

Или даже просто как исходную последовательность байт:

unsigned char s[4];
HANDLE h;
memcpy(s,&h,sizeof(h));

В переменных типа int - конечно, если размеры позволяют (в 64-разрядном мире void* - 8 байт) - с помощью явного приведения типов reinterpret_cast

HANDLE f;
int g = reinterpret_cast<int>(f);

Только надо понимать, что вы делаете и зачем. Иначе можно получить неприятностей на любящую приключения точку...