Вычислить 1*2 + 2*3*4 + 3*4*5*6 +

Думаю, не стоит мудрить, а просто реализовать шаг за шагом

int n;
int sum = 0;
cout << "Введи число: ";
cin >> n;
for (int start = 1; start <= n; start++) {
    int product = 1;
    for (int j = start; j <= 2 * start; j++)
        product *= j;
    sum += product;
}
cout << "Результат: " << sum << endl;

P.S. Сейчас увидел прошлую тему автора - так в ней на Паскале точно так же и сделано.

Я бы действовал так, не начиная считать каждый член суммы заново и не делая второго цикла:

int main(int argc, const char * argv[])
{
    unsigned int n;
    cin >> n;
    unsigned long long sum = 2, term = 2;    // Первоначальные значения для n == 1
    for(unsigned int i = 2; i <= n; ++i) // Цикл от 2 до n
    {
        term /= i-1;                     // Новый член получается из старого делением на 
        sum += term *= (2*i-1)*2*i;      // первый множитель и умножением на еще два
    }
    cout << sum << endl;
}

И еще - для типа результата int можно просто сделать табличку из 7 чисел - все равно дальше начинается переполнение :) Впрочем, даже unsigned long long тоже хватит только на 14 значений...