C# - Посылка GET или POST запроса в UWP приложениях

Вы можете использовать библиотеку HttpClient

Я её использовал для написания переносимой библиотеки, которая в том числе должна поддерживать UWP, так что, скорее всего, подойдёт и вам.

Также для парсинга JSON-ответов советую Json.NET
Устанавливается легко через поиск NuGet пакетов или команду:
Install-Package Newtonsoft.Json

Также можете посмотреть примеры написания в этом репозитории.
В частности, для работы с запросами тут подключены:

using System.Net.Http;
using Newtonsoft.Json;
using System.Net;