Чтение запись в файл с блокировкой

Вы делаете неправильно.

File.Open — это не функция, которая «открывает» файл и всё. Эта функция возвращает вам поток, который и имеет эксклюзивный доступ к файлу. Вы должны писать в файл через этот поток.

File.AppendAllText ничего не знает о потоке, который возвратила функция File.Open. Он пытается открыть новый поток, но поскольку ваш файл заблокирован функцией File.Open, ничего не выходит.

Попробуйте так:

using (var file = File.Open("Stat.csv", FileMode.OpenOrCreate, FileAccess.ReadWrite, FileShare.Read))
using (var text = new StreamWriter(file, Encoding.GetEncoding(1251)))
{
    text.WriteLine("test");
}

Если вам нужно держать файловый поток открытым, делайте как-то так:

private FileStream file;

// инициализация
file = File.Open("D:\\Stat.csv", FileMode.OpenOrCreate, FileAccess.ReadWrite, FileShare.Read);

// запись в файл
using (var text = new StreamWriter(file, Encoding.GetEncoding(1251), 1024, leaveOpen: true))
{
    text.WriteLine("test");
}

Параметр leaveOpen: true важен!

В конце работы имеет смысл сделать file.Dispose(), для этого, по идее, включающий это поле класс должен бы тоже реализовать IDisposable.