Доменное имя или IP-адрес

Используйте Uri.Host: http://ideone.com/ulHm67

var uri = new Uri("http://ru.stackoverflow.com/questions/623043/");
Console.WriteLine(uri.Host); // ru.stackoverflow.com

Получение IP-адреса также не проблема:

IPHostEntry ip = Dns.GetHostEntry(uri.DnsSafeHost);
Console.WriteLine(ip);
foreach (var addr in ip.AddressList)
    Console.WriteLine(addr);

На моей машине выдаёт:

ru.stackoverflow.com
151.101.193.69
151.101.65.69
151.101.1.69
151.101.129.69