Изменение BackgroundImage для элемента button

Обработать событие Click:

button0.Click += (sender, args) => { /*Один из вариантов кода ниже*/ }

Если Ваше изображение хранится в файле, то самый простой вариант:

button0.BackgroundImage = Image.FromFile("path/to/file")

Более универсально будет использовать метод FromStream, т. к. в этом случае Вы сможете использовать картинку, например, полученную по сети.
В cлучае загрузки из файла, код будет таким:

using (var stream = File.OpenRead("path/to/file"))
{
   button0.BackgroundImage = Image.FromStream(stream);
}

Также использование FromStream поможет, если картинка хранится в памяти, как массив байтов:

using (var stream = new MemoryStream(array))
{
   button0.BackgroundImage = Image.FromStream(stream);
}

button0.BackgroundImage = Image.FromFile(@"путь_к_файлу");