Как добавить данные в базу MySQL из DataGrid C#?

Проблема в том, что вы в коде никак не задействуете DataGrid. Вы создаете пустой DataSet, заполняете его данными из базы, и потом эти же самые данные записываете назад в базу. Правильно нужно делать так:

Допустим, мы хотим сделать DataGrid, привязанную к DataTable. Сразу в конструкторе окна создадим DbDataAdapter и DataTable (нет необходимости это делать при каждом обновлении, так как структура данных и запросы то не меняются), и сохраним их в полях класса окна.

DbDataAdapter adapter;
DataTable dt;
public MainWindow()
{
    InitializeComponent();
    MySqlConnection conn = DBUtils.GetDBConnection();
    string table = "brands";
    string sql = "SELECT * FROM "+table;
    adapter = new MySqlDataAdapter(sql, conn);
    conn.Open();
    MySqlCommandBuilder myCommandBuilder = new MySqlCommandBuilder(adapter as MySqlDataAdapter);
    adapter.InsertCommand = myCommandBuilder.GetInsertCommand();
    adapter.UpdateCommand = myCommandBuilder.GetUpdateCommand();
    adapter.DeleteCommand = myCommandBuilder.GetDeleteCommand();            
    dt = new DataTable();
    adapter.Fill(dt); //загрузка данных
    datagrid.ItemsSource = dt.DefaultView; //привязка к DataGrid
}

Теперь, когда нужно сохранить данные (я не рекомендую сохранять при каждом изменении строки, так как будет слишком много запросов в базу, лучше создать кнопку "Сохранить"), выполним Update на той же DataTable.

private void ButtonSave_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
{            
    adapter.Update(dt);
}