Как залить проект с бд на гитхаб?

Что-то типа:

1. Создать репозиторий на гитхабе
2. Клонировать локально в пустую папку и перенести папку .git в папку проекта (альтернативно: как клонировать в существующую папку)
3. Создать в корневой папке проекта подходящий .gitignore (чтобы всякий хлам не затащить в проект)
4. Дать команды git add ., затем git commit -m 'commit description'и git push.

Всё! Можете переходить на другую машину и клонировать.

а что делать с connectionString его придется на каждой машине менять?

Вводные слова: connectionString -- это часть окружения. Окружение -- это то, что у каждого своё. Идеально: вообще не складывать коннекшн стринги в гит.

Частный подход зависит от команды, от проекта. Можете положить в .gitignore этот файл, можете договориться что у всех в конфиге будет одинаковое имя базы и имя сервера (локалхост). В более крупных проектах это всё равно будет разворачиваться на прод из CI

как мне залить проект вместе с бд()

Общий подход: данные — не код, БД — не код. Поэтому саму базу в гит стараются не складывать, хотя бывают проекты, где есть sql-скрипты инициализации самых основных справочников, без которых не стартануть.

А вот схема данных — это часть проекта, оформляйте в EF миграции (пример), пишите скрипты накатывания миграций — и это вполне качественный подход к задаче.

Понимаете, на гитхаб обычно складывают демо-приложения, в них все настройки выставлены в некоторый дефолт, чтобы быстро можно было пощупать приложение: сервер -- localhost или LocalDb\mssqllocaldb, имя базы прописано, пользователь admin с каким-нибудь простым паролем указанным в документации... И это неплохой подход, можете начать с такого.

В качестве ответа думаю пока хватит, дальше копайте отдельные вопросы глубже: у вас по факту не один вопрос, а сразу множество -- хотите проработать кучу аспектов, которые в общем-то за вас никто не выберет.