У потока может быть контекст(GUI приложение), а может и не быть(Консольное приложение).
Для каких целей может быть использовано свойство Thread.CurrentContext.
В гугле что-то не нарыл информации и даже не нашел, как его задавать.
Нашел только возможность межпотокового взаимодействия с передачей данных.
Если абстрагировать .NET, то википедия говорит, что это некоторое состояние потока и когда процессор переключает контексты, то он их сохраняет, что бы потом его возобновить. Однако, мне кажется, что .NET контексты устроены по другому.
Я понимаю, что "вам не должно хотеться использовать Thread, когда есть Task" и возможно я заглядываю туда куда не нужно заглядывать, но просто интереса ради.
Сборка персонального компьютера от Artline: умный выбор для современных пользователей