Можно ли методы класса выносить в разные файлы

Разумеется можно. Для этого существует модификатор класса partial. Пример использования из документации:

public partial class Employee
{
    public void DoWork()
    {
    }
}
public partial class Employee
{
    public void GoToLunch()
    {
    }
}

Активно используется визуальным дизайнером студии для разделения пользовательского кода разработчика и кода, генерируемого самим дизайнером.