Один объект на две формы

Графический компонент (Control) может быть только на одной форме одновременно.

Вы не с той стороны заходите. Нужно создать модель, содержащую некое значение и привязать её (data binding) к двум разным контролам на формах.

Допустим, имеется следующая модель:

class Foo
{
    public string Bar { get; set; }
}

Имеются две формы. На каждой есть свой TextBox. Назовём их, соответственно, textBoxOnFormOne и textBoxOnFormTwo

На первой форме создаём объект нашего класса модели:

foo = new Foo();

И привязываем его к текстбоксу:

textBoxOnFormOne.DataBindings.Add("Text", foo, "Bar", false, DataSourceUpdateMode.OnPropertyChanged);

Тем или иным образом передаём ссылку на объект во вторую форму. И в ней тоже делаем аналогичную привязку:

textBoxOnFormTwo.DataBindings.Add("Text", foo, "Bar", false, DataSourceUpdateMode.OnPropertyChanged);

Теперь, если вводить/изменять значение в текстбоксе на одной форме, оно будет автоматически изменяться на другой.