Правильная сериализация

По сути тут нечего сложного нету, главное понимать какой тип используется.
Давайте пройдемся по порядку:

• "feed": {} - это простой объект с названием feed.
• "feedBoxes": [] - это массив объектов с названием feedBoxes.
• "title": "Заголовок" - свойство, название которого title, а значение "Заголовок".
  Тут надо понимать также тип. Если это текст, то string, число - int и т.д.

Теперь давайте составим всю структуру с нуля:

1. Создадим для удобства базовый класс, я назову его Root, в нем сделаем свойство класса Feed, которое для удобства сразу инициализируем. Получаем что то вроде:

   class Root
   {
       public Feed Feed { get; set; } = new Feed();
   }

2. Далее сам класс Feed, он содержит в себе массив feedBoxes, для удобной работы пусть это будет свойство с типом List<FeedBox>, ну и также инициализируем сразу:

   class Feed
   {
       public List<FeedBox> FeedBoxes { get; set; } = new List<FeedBox>();
   }

3. Каждый элемент FeedBox содержит в себе ряд свойств и массив content. Для удобного заполнения мы создадим еще конструктор, который будет принимать необходимые нам значения:

   class FeedBox
   {
       public FeedBox(string type, string title, string id)
       {
           Type = type;
           Title = title;
           Id = id;
       }
       [JsonProperty("$type")] public string Type { get; set; }
       public string Title { get; set; }
       public string Id { get; set; }
       [JsonProperty("Content")]
       public List<ContentMain> Contents { get; set; } = new List<ContentMain>();
   }

4. Остается сам Content и его "основной класс. В нем у нас всего два свойства, ну и конструктор:

   class Content
   {
       public Content(string type, string value)
       {
           Type = type;
           Value = value;
       }
       [JsonProperty("$type")] public string Type { get; set; }
       public string Value { get; set; }
   }

   ну и

   class ContentMain
   {
       public ContentMain(string type)
       {
           Type = type;
       }
       [JsonProperty("$type")] public string Type { get; set; }
       [JsonProperty("Content")]
       public List<Content> Contents { get; set; } = new List<Content>();
   }

5. Ну что, структуру мы сделали, давайте заполним:

   var root = new Root();
   var feetBox = new FeedBox("newsBox", "Заголовок", "top_news");
   var firstContent = new ContentMain("Paragraph");
   firstContent.Contents.Add(new Content("Text", "Первый абзац"));
   feetBox.Contents.Add(firstContent);
   var secondContent = new ContentMain("Paragraph");
   secondContent.Contents.Add(new Content("Text", "Первый абзац"));
   feetBox.Contents.Add(secondContent);
   root.Feed.FeedBoxes.Add(feetBox);

6. Все, осталось сериализировать. Я добавлю пару настроек сериализации для того, что бы все значения были в нижнем регистре и JSON формировался не в одну строку:

   var serializerSettings = new JsonSerializerSettings
   {
       ContractResolver = new CamelCasePropertyNamesContractResolver(),
       Formatting = Formatting.Indented
   };
   var json = JsonConvert.SerializeObject(root, serializerSettings);

Все, видим следующий результат:

{
  "feed": {
    "feedBoxes": [
      {
        "$type": "newsBox",
        "title": "Заголовок",
        "id": "top_news",
        "content": [
          {
            "$type": "Paragraph",
            "content": [
              {
                "$type": "Text",
                "value": "Первый абзац"
              }
            ]
          },
          {
            "$type": "Paragraph",
            "content": [
              {
                "$type": "Text",
                "value": "Первый абзац"
              }
            ]
          }
        ]
      }
    ]
  }
}

Как видите все очень легко, простая работа с классами.

Ваша ошибка в том, что вы пытаетесь заполнить поля FeedBoxes и Content объектами, а нужно списками объектов.

я бы посоветовал подумать над структурой, ведь она кажется схожей для многих объектов. Но можно и так:

FeedNews feed = new FeedNews
{
    Feed = new Feed
    {
        FeedBoxes = new List<FeedBox>
        {
            new FeedBox
            {
                Title = "123",
                Type = "123",
                Id = "123",
                Content = new List<FeedBoxContent>
                {
                    new FeedBoxContent
                    {
                        Type = "Paragraph",
                        Content = new List<ContentContent>
                        {
                            new ContentContent
                            { 
                                Type = "Text", 
                                Value = "Первый абзац" 
                            }
                        }
                    },
                    new FeedBoxContent
                    {
                        Type = "Paragraph",
                        Content = new List<ContentContent>
                        {
                            new ContentContent
                            { 
                                Type = "Text", 
                                Value = "Первый абзац" 
                            }
                        }
                    }
                } 
            }        
        } 
    }
};