Проблема с cookie в WebRequest

CookieContainer - это коллекция, в которую можно добавить необходимые объекты типа Cookie. Вы ее просто инициализируете, не добавляя ничего в нее.

То есть для того, что бы отправить Cookie, надо сделать что то вроде:

var container = new CookieContainer();
container.Add(new Cookie("Name_1", "Value"));
container.Add(new Cookie("Name_2", "Value"));

А уж затем эту коллекцию можно и задавать запросу.

По поводу получить...
У вас есть ответ от сервера, то есть HttpWebResponse response - у ответа есть та самая коллекция с Cookie. Просто возьмите нужный, как из обычной коллекции, либо пройдитесь циклом.

Вот пример от MS (для понятности того, какие значения можно вытянуть):

foreach (Cookie cook in response.Cookies)
{
    Console.WriteLine("Cookie:");
    Console.WriteLine("{0} = {1}", cook.Name, cook.Value);
    Console.WriteLine("Domain: {0}", cook.Domain);
    Console.WriteLine("Path: {0}", cook.Path);
    Console.WriteLine("Port: {0}", cook.Port);
    Console.WriteLine("Secure: {0}", cook.Secure);
    Console.WriteLine("When issued: {0}", cook.TimeStamp);
    Console.WriteLine("Expires: {0} (expired? {1})",
        cook.Expires, cook.Expired);
    Console.WriteLine("Don't save: {0}", cook.Discard);
    Console.WriteLine("Comment: {0}", cook.Comment);
    Console.WriteLine("Uri for comments: {0}", cook.CommentUri);
    Console.WriteLine("Version: RFC {0}", cook.Version == 1 ? "2109" : "2965");
    // Show the string representation of the cookie.
    Console.WriteLine("String: {0}", cook.ToString());
}